Applicando la Trasformata di Laplace (trasformata delle derivate al primo membro e trasformata della funzione al secondo) si ottiene un'equazione algebrica che si risolve normalmente. Quindi si calcola l'antitrasformata e si ha la soluzione.

Trasformando

y'' + 5y' + 6y = 2e^-t

con y(0) = 1, y'(0) = 0

Risulta

[s² Y(s) - s y(0) - y'(0)] + 5 [s Y(s) - y(0)] + 6 Y(s) = 2/(s+1)

Esplicito Y(s)

Y(s) = 2/(s+1)(s+2)(s+3) + (s+5)/(s+3)(s+2)

Scompongo in somma di fratti semplici (frazioni nei singoli fattori dei denominatori) determinando i residui (coefficienti delle frazioni) e ottengo:

Y(s) = 1/(s+1) + 1(s+2) - 1/(s+3)

Faccio l'antitrasformata di entrambi i membri e ottengo:

y(t) = e^-t + e^-2t - e^-3t , t >=0